معمولا اغلب افراد علم حسابان یا حساب دیفرانسیل و انتگرال را دشوار یا ناخوشایند می‌دانند اما همیشه این‌طور نیست. با اضافه کردن حس شوخ‌طبعی و سرگرمی به حسابان می‌توان آموزش آن را متحول کرد. هدف بن اورلین، معلم ریاضی از نوشتن کتابی به نام تغییر تنها ثابت است: دانش حسابان در نقشه‌ی جهانی، تغییر روش‌های تدریس حسابان است؛ این کتاب، مجموعه‌ی رنگارنگی از ۲۸ افسانه‌ی ریاضی است که مفاهیم حسابان را به هنر، ادبیات و تمام نکاتی که مردم در زندگی روزمره با آن‌ها سروکار دارند، وصل کرده است.

اولین کتاب اورلین با عنوان ریاضی همراه با نقاشی‌های بد سال گذشته منتشر شد. اورلین در این کتاب، مباحثی مثل ضریب همبستگی و چهارتایی آنسکوم (مجموعه‌ای شامل چهار مجموعه‌ داده که دارای آمار توصیفی ساده و تقریبا یکسان اما توزیع‌های متفاوت هستند) را در دنیای هری‌ پاتر گنجانده است یا بر اساس داستان جنگ ستارگان، نشان می‌دهد ساخت ستاره‌ی مرگ به شکل کره، هوشمندانه‌ترین حرکت دارت ویدر نیست (یکی از شخصیت‌های اصلی جنگ ستارگان).

کتاب اورلین، برای مبتدی‌ها و دوست‌داران ریاضی بسیار سرگرم‌کننده خواهد بود زیرا اورلین در یافتن روش‌های نو برای ارتباط ریاضی به مسائل جهان واقعی یا مانند مسئله‌ی ستاره‌ی مرگ در توصیف دنیاهای تخیلی بهتر از هر شخص دیگری عمل می‌کند؛ و حالا مسئولیت انتقال سودمندی و زیبایی حسابان از طریق داستان‌های بلند، لطیفه‌های خنده‌دار و حتی طراحی بد را برعهده گرفته است.

حسابان از دو بخش بنیادی تشکیل شده است: مشتق که روشی برای اندازه‌گیری تغییرات لحظه‌ای است و انتگرال که جمع تعداد نامتناهی از بخش‌های کوچک را تشکیل می‌دهد. اورلین می‌گوید:

مشتق به معنی جداسازی لحظه‌ای مشخص، در زمان و انتگرال به معنی جمع جریانی نامتناهی از لحظات و توسعه‌ی تصویری کلی است.

می‌توان مشتق و انتگرال را به دو انتهای یک چکش تشبیه کرد: یک سمت برای کوباندن میخ به کار می‌رود و سمت دیگر میخ را بیرون می‌کشد. اولین بخش فرآیند تفریق و تقسیم است؛ بخش دوم فرآیند ضرب و جمع است. به عبارتی مشتق و انتگرال، عملیات معکوس یکدیگر هستند. بر اساس نظریه‌ی بنیادی حسابان، امکان تبدیل مسئله‌ای به مسئله‌ی دیگر وجود دارد. برای مثال بر اساس معادله‌ی موقعیت سقوط سیب، می‌توان به‌سرعت سیب در هر نقطه‌ی مشخص از مسیر سقوط رسید.

مقاله‌های مرتبط:

پاسخ جزئی به پرسشی بزرگ پیرامون اعداد اول هیلدا گرینجر؛ زن نابغه‌‌ای که قربانی بزرگ‌‌ترین نابرابری در ریاضیات شد

اگر حسابان تا این اندازه ساده و مستقیم است، پس چرا عامل ترس بسیاری از افراد است؟ شاید پاسخ به این سؤال در پیش‌فرض‌های ذهنی افراد نهفته باشد. تجربه‌ی نوشتن کتابِ« تغییر، تنها ثابت است» به اورلین کمک کرد تا روشی برای تغییر در جزم‌اندیشی طولانی‌مدت ریاضی ابداع کند و درباره‌ی روش سنتی تجدیدنظر کند. با وجود نکات و ضمیمه‌های متعدد، این کتاب صرفا کتابی متنی نیست. اورلین می‌گوید: «این کتاب راهکار محاسباتی ارائه نمی‌دهد. بلکه بیشتر داستان‌هایی را درباره‌ی مفاهیم و کاربردها بیان می‌کند.»

برای مثال در داستان شرلوک هلمز، روش استفاده از خطوط تانژانت برای محاسبه‌ی مسیر دوچرخه بر اساس ردهای به جای مانده در گل ارائه شده است. بن اورلین درباره‌ی کتاب دوم خود می‌گوید:

قبل از آنکه ایده‌ی داستان‌گویی به ذهنم برسد در مورد حسابان هیجان‌زده بودم. اولین پیش‌نویس‌های این کتاب به سال ۲۰۱۲ بازمی‌گردد. در آن زمان روی کتابی به قافیه‌بندی حسابان کار می‌کردم که به سبک ادبیات دکتر زوس (داستان‌نویس آمریکایی کودکان) نوشته بودم. این کتاب، مکمل خوبی بود اما روش آن برای افزایش محبوبیت حسابان مناسب نبود زیرا کاملا تابع مباحث درسی بود و ایده‌ی جذابی برای مخاطب نداشت.

از آن زمان بود که اورلین به فکر روشی دیگر برای تدریس حسابان افتاد: کتابی به نام حسابان شاعر که مفاهیم حسابان را به انسان‌ها ربط می‌داد. برای مثال می‌توان از شعر آدرین ریچ به عنوان استعاره‌ای برای حد از نقاشی‌های ادگار دگا برای نمایش مشتق سرعت اولیه و شتاب استفاده کرد؛ اما این روش هم بیش‌ازاندازه نمادین و استعاری بود. به‌طورکلی سه یا چهار فصل از این کتاب مفید بودند و بقیه صرفا به روابط عجیب با ریاضی اشاره داشتند.

در نتیجه اورلین تصمیم به داستان‌سرایی درباره‌ی حسابان گرفت؛ داستان‌هایی که بین معلم‌ها منتقل شده‌اند یا نکاتی که به‌صورت بداهه توسط اساتید در طول سخنرانی بیان می‌شوند. به ‌این ‌ترتیب حتی می‌توان آثاری از فرهنگ فولکلور را در میان نکات حسابان پیدا کرد.

اورلین از روش تدریس خشک و سنتی حسابان گریزان بود. به اعتقاد او از حسابان می‌توان به عنوان دروازه‌ای برای یادگیری استفاده کرد. دانشجویانی که نیاز به یادگیری کامل حسابان ندارند می‌توانند از این طریق به فرصت‌های موردنظر آموزشی دست پیدا کنند. برای رسیدن به این هدف باید بر ابعاد محاسباتی حل مسئله در حسابان تمرکز کرد. یادگیری حسابان دارای توالی مشخصی است. واضح است که قبل از یادگیری انتگرال باید مشتق را آموخت زیرا معنی دیگر انتگرال، ضدمشتق است و فرآیند دشوارتری است. به این ترتیب محدودیت‌های سازمانی مشخصی روی توالی‌سازی اعمال شده است.

از اوایل تا اواسط قرن بیستم، حسابان بر اساس توسعه‌ی دقیق و اصول تدریس می‌شد. به این صورت که در ابتدا اصول اولیه تدریس می‌شدند سپس تمام قضایا و قوانین به شیوه‌ای رضایت‌بخش برای ریاضی‌دان‌ها اثبات می‌شدند. اثبات اصولی برای نمایش درستی قضایا مفید است اما این روش چندان برای دانش‌آموزان شفاف نیست. به همین دلیل حد به عنوان پس‌زمینه‌ی حسابان در نظر گرفته می‌شود زیرا کل حسابان از نظر فلسفی به حد وابسته است؛ اما لازم نیست آموزش لزوما با حد شروع شود و به محور اصلی یادگیری تبدیل شود.

برای تدریس حسابان لزوما نباید از حد شروع کرد

معمولا اغلب افراد، مشتق را آسان‌ترین بخش حسابان می‌دانند؛ فرآیند یکسانی که تکرار می‌شود و تنها چند استثنای محدود دارد که به‌راحتی می‌توان به خاطر سپرد؛ اما انتگرال بسیار سخت‌تر است و نیازمند درک بالا عمیق و تا اندازه‌ای، حدس و گمان است. به این ترتیب تدریس انتگرال نیازمند شیوه‌ی خاصی است. اورلین در پاسخ به روش تدریس انتگرال می‌گوید:

برای من این دوگانگی یکی از جذاب‌ترین موضوع‌های بحث حسابان است: ما نظریه‌ی کامل و توسعه‌یافته‌ای از مشتق‌ها را داریم که کاملا مکانیکی است. به آسانی می‌توان دستورالعمل مشتق‌گیری را به کامپیوتر داد. در مورد انتگرال می‌توان آن را در یک جهت انجام داد اما محاسبه در جهت برعکس بسیار دشوار است. برای مثال شاید در مشتق نیاز به یادگیری هشت نوع مسئله باشد اما وقتی بحث انتگرال به میان می‌آید، بی‌نهایت مسئله به وجود می‌آید؛ بنابراین برای تدریس آن نیاز به صبر زیادی است.

اندی برنوف یکی از اساتید کالج هاروی مود، پس از فارغ‌التحصیلی در حدود ۱۹۸۰، رویدادی به نام MIT Integral Bee را راه‌اندازی کرد. به عقیده‌ی برنوف، انتگرال مانند انواع تلفظ انگلیسی است که دارای صدها ریشه‌ی مختلف است به طوری که دو حرف یکسان می‌توانند تلفظ متفاوتی داشته باشند. به‌طور مشابه، انتگرال‌هایی که تقریبا یکسان به نظر می‌رسند ممکن است راه‌حل‌های متفاوتی داشته باشند.

طبق مشاهدات برنوف، به همان دلیل که کیفیت تلفظ کلمات در طول سی الی چهل سال گذشته کاهش یافته است، مهارت‌های انتگرال‌گیری هم با افت بدتر از گذشته شده‌اند و این یعنی برخی مهارت‌ها دیگر ضرورتی ندارند، زیرا کامپیوترها به‌خوبی از پس برخی مسائل ریاضی برمی‌آیند و دیگر نیازی به مهارت انسانی نیست. کامپیوترها در برطرف کردن این مشکل عملکرد خوبی دارند. به عقیده‌ی اورلین، درک محدودیت‌های نظریه‌ی انتگرال، اهمیت زیادی دارد اما یادگیری روش‌های انتگرال‌گیری متعدد لزوما در دوره‌ی جدید ریاضی ضرورتی ندارد.

اخیرا در ایالات متحده، برخلاف جبر و حسابان، زمزمه‌هایی درباره‌ی تغییرات در تدریس آمار دبیرستان‌ها وجود دارد. به عقیده‌ی اورلین باید از این اتفاق درس گرفت و به اهمیت زیبایی و قدرت حسابان پی برد. معمولا هر درسی، هدفی را دنبال می‌کند. نوع تفکری که برای حسابان به کار می‌رود با تفکر آمار متفاوت است اورلین می‌گوید:

«قطعا من به دنبال ایده‌ی منسوخ شدن حسابان نیستم؛ اما به مدت چند سال در بریتانیا تدریس کردم جایی که دوره‌های جبر و هندسه و حسابان مجزایی وجود ندارد. بلکه تمام این‌ها در دوره‌ی یکپارچه‌ی ریاضی ارائه می‌شوند. اغلب کشورها به این شیوه کار می‌کنند. به این ترتیب می‌توان، بخش زیادی از ریاضی را در درس‌های کاربردی مثل فیزیک گنجاند. حداقل در بریتانیا، سیستم دانشگاهی به این روش کار می‌کند؛ زیرا معمولا برای رسیدن به تخصص در علوم مختلف، نیاز به گذراندن دوره‌های ریاضی است و برای گذراندن این دوره‌ها لزوما نباید به دانشکده‌ی ریاضیات مراجعه کرد.»

حسابان می‌تواند بسیاری از پدیده‌های واقعی را به تصویر بکشد

ایالات متحده، طبقه‌بندی عجیبی را برای ریاضی در نظر گرفته است. معمولا روش مجزایی برای تدریس ریاضی در ایالات متحده وجود دارد. آموزش و پرورش ایالات متحده، حسابان را هم در چنین مسیری قرار داده است.

اورلین برای افرادی هم که کمی از ریاضی می‌ترسند، راه‌حل دارد. به اعتقاد او حسابان، بدترین و اسرارآمیزترین مسائل را هم قابل تصور می‌سازد: مسائلی مثل حرکت، تغییر، جریان زمان. تمام این مسائل را می‌توان در حسابان با قوانین محاسباتی ثابت و غیرقابل تغییر به تصویر کشید. حسابان، دنیای غیرقابل وصف زمان را به روال‌های نمادین و محاسباتی تبدیل می‌کند که امکان حل مکانیکی آن‌ها وجود دارد.

بنابراین حسابان، نوعی جادو است که به مدت قرن‌ها، ذهن متفکران را به خود مشغول کرده است. ریاضیات، الهام‌بخش افرادی مثل تولستوی، جورج لویس بورخس و دیوید فوستر والاس بوده است و در شکل‌گیری چشم‌انداز تاریخی، اخلاقی و قدرت ذهن انسان تأثیرگذار است. حسابان، نمونه‌ای متعارف از تبدیل غیرممکن به روتین و ایده‌هایی است که نه‌تنها به علم بلکه به اقتصاد، فلسفه و حتی آموزش کمک کرده‌اند.

هدف کتاب اورلین، دفاع محض از حسابان به عنوان بهشتی برای انجام هرچه بهتر کارها نیست بلکه هدف، اکتشاف جنبه‌ی انسانی حسابان است که سال‌هاست برای تمام اشخاص از دانشمندان تا شعرا تا فیلسوف‌ها معنی داشته است. اگر حسابان، بخشی جدانشدنی از آموزش ریاضی باشد، باید بخش انسانی آن را بیرون کشید؛ نسخه‌ای که بتواند با همه صحبت کند.

هیلدا گرینجر؛ زن نابغه‌‌ای که قربانی بزرگ‌‌ترین نابرابری در ریاضیات شد

اشتباهات رایج شرکت‌ها در یادگیری و توسعه

پاسخ جزئی به پرسشی بزرگ پیرامون اعداد اول

آیا ممکن است دانش ریاضی جدید ما کاملا غلط باشد؟

آموزش رایگان پایتون، راهکار مایکروسافت برای تربیت نسل بعدی برنامه نویسان