آشنایی با آمار - جلسه سوم

آنچه در فیلم دیدید گالتون بورد نام دارد که اولین بار آن را در سال 1849 فردی به نام فرانسیس گالتون، برای نشان دادن توضیح فرآیندهای تصادفی حول میانگین بیان کرد. برویم دنبال تحلیل ریاضی این پدیده:
فرض کنید میخ نازکی وجود دارد و یک تیله را از بالا روی آن می‏ اندازیم.
احتمال اینکه توپ سمت چپ برود یا راست برابر است با 1/2
حال اگر در ردیف بعدی نیز میخ قرار دهیم، احتمال افتادن سمت راست برابر 1/4 است چرا که 1/4= 1/2× 1/2
احتمال افتادن سمت چپ نیز برابر است. اما چرا وسط برابر شده است؟ چون حالت وسط از 2 مسیر پدید می‏ آید. از سمت چپ میخ راستی و از سمت راست میخ چپی! یعنی در حقیقت حالت وسط 2 تا احتمال رخ دادن دارد. اگر برای ردیف بعدی را بنویسیم احتمال ها به این شکل می‏ شود:
حالا اگر 8 توپ از بالای صفحه روی اولین میخ بریزیم، طبق احتمال های حساب شده به شکل زیر قرار خواهند گرفت.
و اما چالش:
چالش1: در این جزوه احتمال ها برای 3 ردیف میخ محاسبه شد. برای 8 ردیف میخ حساب کنید. سپس حساب کنید اگر256 توپ در گالتون بورد بریزیم در هر جایگاه چند توپ قرار می‏ گیرد.

چالش2: اگر نشان دهنده ردیف میخ ها باشد و نشان دهنده جایگاه قرار گیری توپ ها از سمت چپ باشد، بر حسب حساب کنید اگر توپ در گالتون بورد بریزیم، در جایگاه m ام چند توپ قرار می‏ گیرد.

برای مثال برای شکل صفحه بعد است چون 8 ردیف میخ داریم. برای هر جایگاه مشخص شده است.


بخش پژوهش های دانش آموزی سایت تبیان